Bewijs door Volledige Inductie

Let op : bewijzen van ongelijkheden is altijd een stuk moeilijker dan bewijzen van gelijkheden!

Te bewijzen :	$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\: >\: \sqrt{n} \qquad (n=2,3,..)$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}}\geqslant \sqrt{n}$
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 2 is $LL=1+\frac{1}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ^{(de eerste twee termen)} $RL=\sqrt{2}$ $LL>RL \quad want \quad 1+\frac{\sqrt{2}}{2}>\sqrt{2}\; \Leftrightarrow \; 2+\sqrt{2}>2\sqrt{2}\; \Leftrightarrow\; 2>\sqrt{2}$ ^{→ O.K.}

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{k}}\: >\: \sqrt{k}$
	Te bewijzen :	$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\: >\: \sqrt{k+1}$
	Bewijs :	$LL=\left (1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{k}}\right )+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
		$> \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
		$= \frac{\sqrt{k^2+k}+1}{\sqrt{k+1}}$
		$= \sqrt{k+1}\cdot \frac{\sqrt{k^2+k}+1}{k+1}$
		$>\sqrt{k+1}$
		$want\;\: \frac{\sqrt{k^2+k}+1}{k+1}>1 \;\: daar \; \sqrt{k^2+k}>k$
		Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 2 (Deel I), n = 3 (Deel II),
n = 4 (Deel II), n = 5 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP